Resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d

Ecuaciones de la Forma "ax + b = c" 

Resolver la ecuación 3x – 8 = 7		Resolver la ecuación  – 8m – 5 = 11
3x – 8 = 7  3x – 8 + 8 = 7 + 8 3x = 15 x = 15/3 x =5	Comprobación 3x – 8 = 7 3 ( 5 ) – 8 = 7 15 – 8 = 7 7= 7	-8m – 5 = 11 -8m – 5 + 5 = 11 + 5 -8m = 16 -8m / 8 =16 / 8 -m = 2 (-1) – m = 2 (- 1) m = -2	Comprobación -8 m – 5= 11 -8 ( 2 ) – 5 = 11 16 – 5 = 11 11 = 11

Ecuaciones de la Forma "ax + b = cx + d"

Resolver la ecuación   9t - 8 = 5t + 4		Resolver la ecuación   - 7d – 5 = - 5d + 1
9t – 8 = 5t + 4 9t – 5t = 4 + 8 4t = 12 t = 12/ 4 t= 3	Comprobación 9t – 8 = 5t + 4 9 ( 3 ) – 8 = 5 ( 3 ) + 4 27 – 8 = 15 + 4 19 = 19	-7d – 5 = -5d + 1 -7d + 5d = 1 + 5 - 2d = 6 (- 1) 2d = 6 (- 1) 2d = - 6 d = -6/2 d = - 3	Comprobación -7d – 5 = -5d + 1 -7(-3) – 5 = -5(-3) + 1 21 – 5 = 15 + 1 16 = 16

Ecuaciones de la Forma "ax + b = cx + d"

Resolver la ecuación   6 ( b + 5 ) = 18		Resolver la ecuación   - 18 = 9 (d + 1)
6 ( b + 5 ) = 18 6b + 30 = 18 6b = 18 – 30 6b = - 12 b = - 12 / 6 b = - 2	Comprobación 6 ( b + 5 ) = 18 6 ( -2 + 5 ) = 18 -12 + 30 = 18 18 = 18	- 18 = 9 (d + 1) - 18 = 9b + 9 - 18 – 9 = 9b - 27 = 9b 9b = - 27 b = -27 /9 b = - 3	Comprobación - 18 = 9 (d + 1) - 18 = 9 ( -3 + 1) - 18 = - 27 + 9 -18 = - 18

Nota: para resolver este tipo de ecuaciones se aplica multiplicación de un monomio por un polinomio.

Resolución de Problemas 

a) Cuatro veces la edad de Gaby menos 15 es igual a 37. ¿ Cuál es la edad de Gaby?

Datos: 

Gaby: x

4 Veces: 4x 

menos 15: 4x - 15 

Ecuación: 

4x - 15 = 37

Resolución: 

4x - 15 = 37 

4x = 37 + 15 

4x = 52 

x = 52 / 4

x = 13 

Resultado: edad de Gaby 13

b) Ocho veces un número aumentado en 30 es igual a seis veces el mismo número aumentado en 50. ¿Cuál es el número?

Datos: 

número: x

8 veces: 8x

Aumentado: 8x + 30

6 veces: 6x

aumentado: 6x + 50 

Ecuación: 

8x + 30 = 6x + 50 

8x - 6x = 50 - 30 

2x = 20 

x = 20 / 2

x = 10

Resultado:  El número buscado es el 10

Ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad

Las ecuaciones como lo he mencionado anteriormente nos permiten resolver problemas de nuestra entorno es decir de nuestra vida cotidiana. 
En los siguiente casos aplicaremos lo ya analizado anteriormente.

Ecuaciones de la Forma "x + a = b"

Esta ecuación esta construida por  una incógnita, dos coeficientes y un exponente 1.

Observemos: 

Resolver la siguiente ecuación

x + 4 = 9 

paso 1 Transpolar del 1^er   miembro el  coeficiente (4) al 2^do miembro, tomando en cuenta que     al transpolar si esta sumando pasa restando ( pasa haciendo lo contrario).

Nota: Recordemos que en un miembro deben quedarse los términos dependientes de "x" y en el otro los términos independiente de "x". 

x = 9 - 4 

x = 5

El resultado de la ecuación es 5.

Comprobación: Para efectuarla utilizamos el planteamiento de la ecuación y solo sustituimos a la "x" por el valor que obtuvimos.

x + 4 = 9

5 + 4 = 9

9 = 9 

si mi igualación es igual tanto en el primer miembro y en el segundo miembro, la solución de la ecuación es correcta.

Como lo podemos aplicar a un problema: 

Supongamos que Fabiola tiene una amiga llamada Karen de la cual quiere saber su edad.

Pero Fabiola solo tienen la siguiente información.

La edad de karen aumentada en 12 es igual a 27 

¿Cuantos años tiene karen? 

Datos: 

edad de Karen: x

Edad aumentada: x + 12

Ecuación: x + 12 = 27

Resolución de la ecuación: 

x + 12 = 27

x = 27 - 12

x = 15 

Resultado Karen tiene 15 años  

Ecuaciones de la Forma "ax = b "

Observemos: 
Resolver la siguiente ecuación

3f = 27

paso 1 Transpolar del 1^er   miembro el  coeficiente (3) al 2^do miembro, tomando en cuenta que     al transpolar si esta multiplicando pasa hacer lo contrario al segundo miembro (dividiendo) 

f = 27/ 3
f = 9

El resultado de la ecuación es 9.

Comprobación: Para efectuarla utilizamos el planteamiento de la ecuación y solo sustituimos a la "x" por el valor que obtuvimos.

3f = 27
3 (9)  = 27
27 = 27 

si mi igualación es igual tanto en el primer miembro y en el segundo miembro, la solución de la ecuación es correcta.

Como lo podemos aplicar a un problema:

El papá de Carlitos compro un terreno rectangular que tiene una área de 216 m^2. Si un lado del terreno mide 12m, ¿Cuánto mide el otro lado?

Datos: 

b = 12

h = x

bh = A

Ecuación: 

12x = 216

x = 216/ 12

x = 18

Resultado: altura= 18 m

Ecuaciones de la Forma "ax + b = c "

Observemos: 

Resolver la siguiente ecuación

4a + 5 = 13

paso 1 Transpolar del 1^er   miembro el  coeficiente (5) al 2^do miembro, tomando en cuenta que     al transpolar si esta sumando pasa hacer lo contrario al segundo miembro (restando) 

4a = 13 - 5
4a = 8

paso 2 Transpolar del 1^er   miembro el  coeficiente (4) al 2^do miembro, tomando en cuenta que     al transpolar si esta multiplicando pasa hacer lo contrario al segundo miembro (dividiendo)

4a = 8
a = 8 / 4
a = 2

El resultado de la ecuación es 2.

Comprobación: Para efectuarla utilizamos el planteamiento de la ecuación y solo sustituimos a la "x" por el valor que obtuvimos.

4x + 5 = 13
4(2) + 5 = 13
8 + 5 = 13
13 = 13

si mi igualación es igual tanto en el primer miembro y en el segundo miembro, la solución de la ecuación es correcta.

Como lo podemos aplicar a un problema:

Si al triple de un número se le aumenta 18, se obtiene 30. ¿Cuál es el número?

Datos: 

Número: x

Triple: 3x 

mas 18: 3x + 18

Ecuación:

3x + 18 = 30

3x = 30 - 18

3x = 12

x = 12 / 3

x = 4

Resultado: Es el número 4

Ley de los Signos

Es de suma importancia mencionar que para resolver una ecuación es importante también conocer la ley de los signos y también lo que es un despeje.

Ley de los Signos

Recordemos

1.- Suma de números positivos y otro negativo 

regla: para sumar un número positivo y un número negativo se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores absolutos de ambos números, y al resultado obtenido se le antepone el signo del número mayor. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y signos distintos la suma es cero. 

Así tenemos:   

2.- Suma de cero y un número positivo o negativo
Regla: La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos dará el mismo número positivo o negativo.

2.2.-  Sustracción de números relativos

 Regla: Para hallar la diferencia entre dos números relativos se suma el minuendo el sustraendo, cambiándole el signo. 

3. -  Multiplicación de Números Relativos

Regla: El producto de dos números relativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto hallado levará signo positivo (+), si los signos de ambos factores son iguales; llevará signos negativos (-), si los factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0.

Cuando operamos con símbolos literales el producto es siempre indicado, bien en la forma 

ax b; bien en la forma a.b; y más usualmente ab.

El siguiente cuadro es un medio de recordar fácilmente la ley de los signos en la multiplicación de los números relativos.

4. -  División de números relativos

Regla: Para dividir un número cualquiera d por otro número distinto de cero d´, multiplicamos d  por el recíproco d´ ( 1/d´). El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo; y negativos, si son de signos contrarios.

Con el siguiente cuadro podemos recordar fácilmente la ley de los signos de la división con números relativos.

Un Modelo Matemático

Lenguaje Algebraico 

¿ De donde surge el Lenguaje Algebraico? 

En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmán en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos.

 La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

¿ Qué es un Lenguaje Algebraico? 

 El lenguaje algebraico: es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

Una expresión algebraica  es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones aritméticas. El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de  multiplicación y división de letras y números, tanto el numero como la letra puede estar elevado a una potencia. El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras  (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta  la letra y su exponente.

¿ Los signos son importantes dentro del Lenguaje Algebraico?

Si los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cual de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a. El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es muy importante comprender lo siguiente:

• Se usan todas las letras del alfabeto.

• Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.

• Por lo regular las letras x, y , z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica.

Modelo matemático 

Cuando traducimos al lenguaje algebraico (matemático) el enunciado en palabras de un problema, estamos creando un modelo matemático del problema. 

La siguiente tabla muestra algunas palabras para traducir de un lenguaje común a un lenguaje algebraico  (operaciones matemáticas).

Suma ( + )	Resta ( - )
La suma de Más Sumado con Más que	Menor que Disminuido en Menos La diferencia de
Multiplicación ( * )	División ( / )
Por El producto de Multiplicado por El doble de El triple de	El cociente Dividido entre La mitad La tercera parte La quinta parte

Ejemplos: 

Lenguaje común	Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 4 es igual a 9	x + 4 = 9
Las suma de dos números es igual a 15	x + y = 15
Un número disminuido en 7 es igual a 3	m – 7 = 3
El doble de un número es igual a 20	2n = 20
La cuarta parte de un número es 6	n/4 = 6
La mitad de la suma de dos números es 8	x + y/ 2 = 8

Observemos los siguientes vídeos

1.-Traducción de un lenguaje común a un lenguaje algebraico 

2.- Traducción de un lenguaje algebraico a un lenguaje común

Propiedades de la Igualdad

¿PARA QUE NOS SIRVEN LAS PROPIEDADES DE LA IGUALDAD?

Cuando abordamos el termino de igualdad en matemáticas, se establece una comparación de los valores representada por el signo igual, como se sabe es aquel que separa el primer miembro del segundo miembro.   

Las propiedades de la igualación son tres:

1. Propiedad Simétrica
2. Propiedad Uniforme
3. Propiedad Cancelativa 

Conceptos de las Propiedades

Aplicación de las Propiedades: 

Propiedad Simétrica ( ejemplos)
Si:   3 + 2 = x Entonces:        x  = 3 + 2	Si : m = 4 – 1 Entonces:      4 – 1 = m

Propiedad Uniforme ( ejemplos)
Si:   x + 3 = 5 Entonces:        x + 3 – 3 = 5 – 3        x = 2	Si : y – 4 = 6 Entonces:      y – 4 + 4 = 6 + 4      y = 10	Si : 4m = 20 Entonces:      4m/4 = 20/4      m = 5

Propiedad Cancelativa ( ejemplos)
Si:   h + 7 = 2 + 7 Entonces:        h + 7 = 2 + 7        h = 2	Si : 3 (d) = (3)(6) Entonces:      3 (d) = (3) (6)      d = 6

Definición y Elementos de una ecuación

ECUACIÓN:

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas  relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar en la ecuación:

¿Que elementos tiene una ecuación y como se llaman?

A continuación se muestra un esquema con los elementos de una ecuación 

Elementos de una ecuación

1. MIEMBROS: son las expresiones que aparecen a cada lado del signo =

    2. TÉRMINOS: son los monomios de cada miembro

    3. INCÓGNITAS: Son las letras que aparecen en la ecuación

4. GRADO DE LA ECUACIÓN: es el mayor exponente con que figura la incógnita (una vez realizadas todas las operaciones)

	Esta es una ecuación de segundo grado
	Esta es una ecuación de primer grado
En la primera ecuación, la incógnita de mayor exponente es x al cuadrado (2) En la segunda, las incógnitas tienen un exponente 1

    5. SOLUCIONES: son los valores que deben tener las incógnitas para que la igualdad  

    entre los miembros sea cierta

Es de suma importancia mencionar que en nuestra  vida diaria, y más especialmente en el mundo del trabajo, nos encontramos con situaciones que nos llevan a plantear Ecuaciones del tipo Lineal.

A continuación se  definirá  Ecuación Lineal:

• Una Ecuación Lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables. Y esta construidas por los elementos ya mencionados anteriormente.